课题组的一项最新研究将Thouless泵浦推进到了非线性范畴，并发现了分数阶Thouless泵浦现象。相关研究成果近日发表于《物理评论快报》。

在一些特定的周期系统里，波包的传输或者演化被发现是“拓扑”的，言下之意是：波包在横向跨越晶格时，其跨越的方向和位移仅仅决定于系统的某种全局特性——称之为“拓扑性”——而与其所在处系统的局部细节无关。在这种系统中，每经历一个演化周期T，波包在晶格内移动的距离R为R=CL, 其中L为晶格的一个周期的长度，C则为描写系统拓扑性的一个参数，称陈数。由于C只能取0，1，2，-1，-2等整数，所以，波包的此类移动是量子化的。该现象最早由物理学家David Thouless在1983年发现，后被称为“Thouless 泵浦”，又名“量子输运”(Quantum Transport)。 David Thouless因为在拓扑方面的工作获得了2016年诺贝尔物理学奖。值得说明的是，Thouless在该具有开创意义的工作中所考虑的物理系统是线性的，即描写系统的物理参数（如势函数，折射率）仅仅由系统本身决定，而与波函数的振幅等无关。

Thouless泵浦在很多物理系统中都得到了观察和实现。由于很多物理系统都可能具有非线性物理响应，一个很自然的问题是：非线性如何影响Thouless 泵浦？

课题组以自聚焦非线性响应为例，研究了非线性作用下波包在拓扑系统中的演化行为。他们发现，当波包的振幅比较小时（弱非线性范畴），波包的演化行为接近于线性系统下的行为，此时波包在演化过程中不断地扩散（但其质心位置仍然由R=CL精确地描述）；随着波包振幅的增加，自聚焦效应不断增强，达到一定的阈值之后，非线性效应平衡了波包的扩散效应，一个稳定的波包——孤子就形成了。有趣的是，尽管此时波包作为一个稳定的整体在晶格中不断跨越，但其位置依然由R=CL精确描述 （图1（a）），即非线性仅仅起到了将波局域住的作用，但对其质心的位移并无任何影响。

继续增加波包的振幅会如何？研究者发现孤子的移动方向反转了（从向左传输变成了向右传输）, 而移动距离也发生了变化：变成了线性情况的1/3(图1（b）)！为什么？这是因为在这个阶段，非线性不仅仅起到了局域波包、形成孤子的作用，还耦合了各个能带，将前三个能带都均匀地激发出来可。因此，波包的传输由该三个激发带的平均拓扑陈数决定，即R=CeffL=1/3(C1+C2+C3)L。由于C1= C3=-1，C2=3，因此Ceff=1/3。即，Thouless 泵浦在较强非线性作用下，由于耦合了多个拓扑能带，出现了分数阶泵浦现象！

图1：非线性Thouless泵浦。随着非线性效应的增加，在三个演化周期T内，波包的演化先后经历： (a) 向左移动3个周期L(此时最低能带被激发，C1=-1)， (b)向右移动1个周期L(此时前三个能带被激发，C1=-1，C2=3，C3=-1，即有效陈数Ceff=1/3, 对应分数阶泵浦),  (c) 移动被“冻结”(此时，前四个能带被激发，C1=-1，C2=3，C3=-1，C4=-1，即有效陈数Ceff=0, 对应泵浦的非线性冻结)。

进一步增强波包的振幅又会如何？研究者发现，波包的移动最终归于“冻结”。这是因为更多的能带在非线性的作用下参与进来，导致有效陈数Ceff=1/4(C1+C2+C3+ C4)=0（图1c）。不过，有趣的是，此时的孤子尽管没有宏观上的定向移动，但出现了在原地不断“抖动”的现象，反映了相关激发能带之间的耦合和竞争。

非线性Thouless泵浦的研究发现意味着，通过控制波包的振幅这一个可调参数，就可以控制孤子波的移动方向和移动距离。这一研究从理论上将孤子的动力学行为和系统的拓扑性联系了起来，也为各类波（物质波，光波，声波等）定向移动的控制提供了一种新的调控手段。

相关论文信息：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.128.154101